Свойства обобщенных функций позволяют использовать

Приложение
Сведения из теории обобщенных функций
Свойства обобщенных функций позволяют использовать методы дифференциального и интегрального исчисления применительно к функциям, не обладающим свойством непрерывности.
К обобщенным функциям принято относить прежде всего дельта-функцию Дирака и ступенчатую функцию Хевисайда.
Дельта-функция
Определение:
(1a)
(1б)
Вариант определения дельта-функции с переменным параметром :

где
. (2)
Предел функции (2) при существует не при всех значениях х, однако всегда существует предел
.
Любая операция над дельта-функцией подразумевает операцию над функцией вида с последующим нахождением предела при в конце вычислений.
Свойства дельта-функции

1. “Селектирующее” свойство выражается в форме
   
   (3)

где f(x) – любая непрерывная функция. Это легко доказать, приняв


Подбором значения m в (2), можно уменьшить погрешность замены f(x) на f(a) до требуемого любого малого значения. Интегрирование достаточно выполнить лишь в окрестности точки a, поэтому символически записывают следующее соотношение:



При

последняя запись сводится к соотношению



2. Свойство четности:



(4)

3. Изменение масштаба:



(5)

4. Свертка двух дельта-функций определяется как
   
   (6)
5. Дифференцирование

Используем “аппроксимирующие” функции вида (2) и запишем

Переход к пределу при приводит к соотношению

В общем случае производной n-го порядка
(7)
Свойства производных:
(8)
(9)
Определение дельта-функции через интеграл Фурье
Выразим значение функции f(x) в точке a в форме

Обозначив

и изменяя порядок интегрирования, с учетом четности дельта-функции получаем

где
Последний интеграл следует понимать в смысле

При f(x)=1, поэтому дельта-функцию можно определить как
(10)
т.е. как Фурье-образ от единицы.
Обратное соотношение выражается в виде
(11)
Единичная ступенчатая функция
Определение ступенчатой функции имеет вид

Можно показать, что справедливо соотношение

Селектирующее свойство выражается в форме
(14)

Примеры дифференцирования разрывных функций

1. Пусть функция f(x) задана соотношением




Тогда



2. Знаковая функция sgn(x) по определению есть




или



Эту функцию можно выразить через обобщенные функции, а именно




3. Производные функции
   

можно выразить как

или
При использовании дельта-функции можно записать

т.е. излом графика дает вторую производную (кривизну) в виде функции .

Содержание раздела

---

---