Основы теории информации и передачи сигналов
Основы теории информации и теории сигналов - часть 10
Частотные спектры во многих случаях наиболее наглядно отображают свойства сигналов.
Ряды Фурье
Для периодического сигнала s(x) справедливо выражение
(13)
где T – период повторения значений сигнала. Сигнал (13) можно разложить в ряд Фурье
(14)
где
– фундаментальная частота ряда Фурье. Таким образом, сигнал s(x)
представлен суммой косинусоид и синусоид, частоты которых изменяются дискретно с шагом 
Коэффициенты 
и 
вычисляются в форме интегралов по интервалу длиной T, а именно:
(15)
(16)
Первое слагаемое в (14) представляет среднее значение сигнала
Выражение (14) можно переписать в виде
(17)
где
т.е. отдельная частотная составляющая имеет амплитуду 
и начальную фазу 
.
Поскольку
формулу (17) можно представить в форме
(18)
где
(19)
В (18) сигнал определен на положительных и отрицательных частотах
. Коэффициенты 
, вообще говоря, являются комплексными:
(20)
причём
где звёздочкой обозначено комплексное сопряжение.
Преобразование Фурье
Сигнал s(x) может иметь непериодический характер, что приводит к необходимости обобщения ряда Фурье для случая
в форме интеграла Фурье
(21)
который существует при условии
.
Формула (21) определяет преобразование Фурье или спектр сигнала. При известном спектре можно определить сигнал с помощью обратного преобразования Фурье
(22)
Из (21) видно, что спектр действительного сигнала s(x), вообще говоря, является комплексным, поэтому
где
- действительная и мнимая части спектра соответственно. В полярных координатах
(23)
где
есть амплитудный спектр, j(u) – фазовый спектр.
Основные свойства преобразования Фурье можно кратко сформулировать следующим образом.
1. Свойство линейности.
(24)
для любых функций
и 
и любых постоянных a и b.
2. Теорема сдвига.
(25)
Сдвиг сигнала в области независимой переменной вызывает изменение фазы, пропорциональное значению частоты каждой спектральной составляющей сигнала.
3. Повторное выполнение преобразования Фурье:
(26)
восстанавливает исходный сигнал с инверсией знака независимой переменной.
4.