Ряды Фурье
Для периодического сигнала s(x) справедливо выражение
где T – период повторения значений сигнала. Сигнал (13) можно разложить в ряд Фурье
где
Первое слагаемое в (14) представляет среднее значение сигнала
Выражение (14) можно переписать в виде
где
Поскольку
где
В (18) сигнал определен на положительных и отрицательных частотах
причём
Преобразование Фурье
Сигнал s(x) может иметь непериодический характер, что приводит к необходимости обобщения ряда Фурье для случая
который существует при условии
Формула (21) определяет преобразование Фурье или спектр сигнала. При известном спектре можно определить сигнал с помощью обратного преобразования Фурье
Из (21) видно, что спектр действительного сигнала s(x), вообще говоря, является комплексным, поэтому
где
- действительная и мнимая части спектра соответственно. В полярных координатах
где
Основные свойства преобразования Фурье можно кратко сформулировать следующим образом.
1. Свойство линейности.
для любых функций
2. Теорема сдвига.
Сдвиг сигнала в области независимой переменной вызывает изменение фазы, пропорциональное значению частоты каждой спектральной составляющей сигнала.
3. Повторное выполнение преобразования Фурье:
восстанавливает исходный сигнал с инверсией знака независимой переменной.
4.