Основы теории информации и передачи сигналов


           

Частотные спектры во многих случаях


Частотные спектры во многих случаях наиболее наглядно отображают свойства сигналов. Ряды Фурье Для периодического сигнала s(x) справедливо выражение
(13) где T – период повторения значений сигнала. Сигнал (13) можно разложить в ряд Фурье
(14) где 
– фундаментальная частота ряда Фурье. Таким образом, сигнал s(x) представлен суммой косинусоид и синусоид, частоты которых изменяются дискретно с шагом 
Коэффициенты 
и 
вычисляются в форме интегралов по интервалу длиной T, а именно:
(15)
(16) Первое слагаемое в (14) представляет среднее значение сигнала
Выражение (14) можно переписать в виде
(17) где 
т.е. отдельная частотная составляющая имеет амплитуду 
и начальную фазу 
. Поскольку 
формулу (17) можно представить в форме
(18) где 
(19) В (18) сигнал определен на положительных и отрицательных частотах 
. Коэффициенты 
, вообще говоря, являются комплексными:
(20) причём
где звёздочкой обозначено комплексное сопряжение. Преобразование Фурье Сигнал s(x) может иметь непериодический характер, что приводит к необходимости обобщения ряда Фурье для случая
в форме интеграла Фурье
(21) который существует при условии
. Формула (21) определяет преобразование Фурье или спектр сигнала. При известном спектре можно определить сигнал с помощью обратного преобразования Фурье
(22) Из (21) видно, что спектр действительного сигнала s(x), вообще говоря, является комплексным, поэтому
где
- действительная и мнимая части спектра соответственно. В полярных координатах
(23) где 
есть амплитудный спектр, j(u) – фазовый спектр. Основные свойства преобразования Фурье можно кратко сформулировать следующим образом. 1. Свойство линейности.
(24) для любых функций 
и 
и любых постоянных a и b. 2. Теорема сдвига.
(25) Сдвиг сигнала в области независимой переменной вызывает изменение фазы, пропорциональное значению частоты каждой спектральной составляющей сигнала. 3. Повторное выполнение преобразования Фурье:
(26) восстанавливает исходный сигнал с инверсией знака независимой переменной. 4.

Содержание  Назад  Вперед