Основы теории информации и передачи сигналов




Основы теории информации и теории сигналов - часть 10


Частотные спектры во многих случаях наиболее наглядно отображают свойства сигналов.

Ряды Фурье

Для периодического сигнала s(x) справедливо выражение

(13)

где T – период повторения значений сигнала. Сигнал (13) можно разложить в ряд Фурье

(14)

где 

– фундаментальная частота ряда Фурье. Таким образом, сигнал s(x) представлен суммой косинусоид и синусоид, частоты которых изменяются дискретно с шагом 
Коэффициенты 
и 
вычисляются в форме интегралов по интервалу длиной T, а именно:

(15)

(16)

Первое слагаемое в (14) представляет среднее значение сигнала

Выражение (14) можно переписать в виде

(17)

где 

т.е. отдельная частотная составляющая имеет амплитуду 
и начальную фазу 
.

Поскольку 

формулу (17) можно представить в форме

(18)

где 

(19)

В (18) сигнал определен на положительных и отрицательных частотах 

. Коэффициенты 
, вообще говоря, являются комплексными:

(20)

причём

где звёздочкой обозначено комплексное сопряжение.

Преобразование Фурье

Сигнал s(x) может иметь непериодический характер, что приводит к необходимости обобщения ряда Фурье для случая

в форме интеграла Фурье

(21)

который существует при условии

.

Формула (21) определяет преобразование Фурье или спектр сигнала. При известном спектре можно определить сигнал с помощью обратного преобразования Фурье

(22)

Из (21) видно, что спектр действительного сигнала s(x), вообще говоря, является комплексным, поэтому

где

- действительная и мнимая части спектра соответственно. В полярных координатах

(23)

где 

есть амплитудный спектр, j(u) – фазовый спектр.

Основные свойства преобразования Фурье можно кратко сформулировать следующим образом.

1. Свойство линейности.

(24)

для любых функций 

и 
и любых постоянных a и b.

2. Теорема сдвига.

(25)

Сдвиг сигнала в области независимой переменной вызывает изменение фазы, пропорциональное значению частоты каждой спектральной составляющей сигнала.

3. Повторное выполнение преобразования Фурье:

(26)

восстанавливает исходный сигнал с инверсией знака независимой переменной.

4.


Содержание  Назад  Вперед